欧拉线 九点圆与欧拉线

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九点圆和欧拉线

上一期我们讲了九点圆，里面涉及了三角形中的高线、中线等概念。我们知道，一个三角形的三条高线在一个点相交，这个点叫做“聚焦”。我们也知道一个三角形的三条中线也在一个点相交，这个点叫做关键点(或中心)。之所以称之为重心，是因为如果三角形是质量分布均匀的薄板，那么从重心处系一根绳子，将三角形薄板提起，三角形薄板处于平衡状态，即薄板处于水平状态。三角形有几个其他的心。先说震中，它是三角形三条边的垂线的交点。线段的垂直线(这里是边)是指从线段上任意一点到线段两端的距离相等。因此，从外中心到三角形三个顶点的距离必须相等。然后以外中心为中心，以外中心到任意顶点的距离为半径做一个圆，这个圆就是三角形的外接圆。所谓外中心，外接圆中心也是。然后是心(外有内有，好巧)。内心是三角形三个内角平分线的交点。

本期我们要讲的是心、心、重心的关系，引出了欧拉线的概念。然后我们再来说说欧拉线和九点圆的关系。下图中画的是九点圆，当然组成它的九个点叫做九点圆也是画出来的。该图还显示了九点圆的垂直中心h、外部中心w、重心g和中心o。对了，outer中心本来应该是用大写字母O来表示的(英文out的意思是Outer)，但是由于上一期我们用O来表示九点圆的中心，所以这里用W来表示外接圆(用W是有意义的，因为汉语外面的拼音是Wai)。g作为重心是因为英语中的重量是重力。我谨慎使用h，可能是因为高线和英语水平高有关。另外，内心一般用大写英文字母I表示，因为内心在。这让我想起了现在的流行语，说一个人过时了，就说他过时了或者过时了。说一个人与时俱进，紧跟潮流，就说他是In。我跟不上潮流。如果这里有问题，请随意说我出去了。好了，言归正传。先说数学，九点圆和欧拉线。

上图红色线段所在的线是欧拉线。三角形的垂直线(h)、重心(w)和重心(g)位于一条直线上，重心位于垂直中心和外中心之间。线段WH被分成两部分，从外部中心到垂直中心的距离之比为1∶2，即重心是线段WH的两个三等分点中靠近外部中心的三等分点。上图中，WG: GH = 1: 2。这个不难证明，只要三角形A’GW和三角形AGH相似，相似比为1: 2。首先，角度GWA'=角度GAH。其次，因为g是三角形ABC的重心，所以有一个‘g:ag = 1:2’。所以说明a' w: ah = 1: 2就足够了。这个有点难，很难想到。所以仔细观察，可以看出W是三角形ABC的中值三角形A'B'C '的中心。所以，因为三角形A'B'C和三角形ABC相似，相似比为1: 2，所以这两个三角形中A'W和AH的比例也是1: 2。最终WG: GH = 1: 2。当然，我们也不能忘记解释，角度WGA’=角度AGH，这样这两个角度就可以变成相反的角度，从而使W，G，H三点共线。

再看看这张图。也就是上图所示，还有一个点o，也就是九点圆的中心，没有提到。可以证明，九点钟的圆心是由垂直的外中心组成的线段，即点O是WH的中点。这个不难证明，因为三角形PDA '(图中天蓝色区域)是直角三角形，九点圆的中心o是这个直角三角形斜边的中点，所以A'O=AO。可以证明三角形WA'G与三角形PHO全等。所以WO=OH。

三角形有这么多有趣的性质！

另外，九点圆还有一个无穷的魅力:它与三角形的内切圆和三个外接圆相切！