初一下册数学不等式与不等式组知识点归纳

  一、目标与要求

  1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

  2.经历由具体实例建立不等模型的过程,经历探究不等式解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合思想;

  3.通过对不等式、不等式解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域。

  二、重点

  理解并掌握不等式的性质;

  正确运用不等式的性质;

  建立方程解决实际问题,会解ax+b=cx+d类型的一元一次方程;

  寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型;

  一元一次不等式组的解集和解法。

  三、难点

  一元一次不等式组解集的理解;

  弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式;

  正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上。

  四、知识点、概念总结

  1.不等式:用符号,,,表示大小关系的式子叫做不等式。

  2.不等式分类:不等式分为严格不等式与非严格不等式。

  一般地,用纯粹的大于号、小于号,连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号),连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。

  3.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

  4.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

  5.不等式解集的表示方法:

  (1)用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来,例如:x-12的解集是x3

  (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解,用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。

  6.解不等式可遵循的一些同解原理

  (1)不等式F(x) G(x)与不等式 G(x)F(x)同解。

  (2)如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,那么不等式 F(x)G(x)与不等式H(x)+F(x)

  (3)如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)0,那么不等式F(x)G(x)与不等式H(x)F(x)0,那么不等式F(x) G(x)与不等式H(x)F(x)H(x)G(x)同解。

  7.不等式的性质:

  (1)如果xy,那么yy;(对称性)

  (2)如果xy,y那么x(传递性)

  (3)如果xy,而z为任意实数或整式,那么x+z(加法则)

  (4)如果xy,z0,那么xz如果xy,z0,那么xz

  (5)如果xy,z0,那么xzy如果xy,z0,那么xz

  (6)如果xy,mn,那么x+my+n(充分不必要条件)

  (7)如果x0,m0,那么xmyn

  (8)如果x0,那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)

  8.一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。

  9.解一元一次不等式的一般顺序:

  (1)去分母 (运用不等式性质2、3)

  (2)去括号

  (3)移项 (运用不等式性质1)

  (4)合并同类项

  (5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)

  (6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

  10. 一元一次不等式与一次函数的综合运用:

  一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。

  11.一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成

  了一个一元一次不等式组。

  12.解一元一次不等式组的步骤:

  (1) 求出每个不等式的解集;

  (2) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

  (3) 用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

  13.解不等式的诀窍

  (1)大于大于取大的(大大大);

  例如:X-1,X2 ,不等式组的解集是X2

  (2)小于小于取小的(小小小);

  例如:X-4,X-6,不等式组的解集是X-6

  (3)大于小于交叉取中间;

  (4)无公共部分分开无解了;

  14.解不等式组的口诀

  (1)同大取大

  例如,x2,x3 ,不等式组的解集是X3

  (2)同小取小

  例如,x2,x3 ,不等式组的解集是X2

  (3)大小小大中间找

  例如,x2,x1,不等式组的解集是1

  (4)大大小小不用找

  例如,x2,x3,不等式组无解

  15.应用不等式组解决实际问题的步骤

  (1)审清题意

  (2)设未知数,根据所设未知数列出不等式组

  (3)解不等式组

  (4)由不等式组的'解确立实际问题的解

  (5)作答

  16.用不等式组解决实际问题:其公共解不一定就为实际问题的解,所以需结合生活实际具体分析,最后确定结果。

  五、经典例题

  例1当x 时,代数代2-3x的值是正数。

  例2一元一次不等式组的解集是 ( )

  例3已知方程组的解为负数,求k的取值范围。

  例4某种植物适宜生长在温度为18℃~20℃的山区,已知山区海拔每升高100米,气温下降0。5℃,现在测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山的哪一部分为宜?(假设山脚海拔为0米)

  例5某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种购买个人年票的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年)。年票分A、B、C三类:A类年票每张120元,持票者进入园林时,无需再用门票;B类年票每张60元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次2元;C类年票每张40元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次3元。

  (1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可进入该园林的次数最多的购票方式。

  (2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A类年票比较合算。

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