反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f"(x)互为倒数（即原函数，前提要f"(x)存在且不为0）。
arctanx求导方法
设x=tany
tany"=secx^y
arctanx"=1/(tany)"=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)"=1/(1+x^2)
反函数的导数与原函数的导数关系
设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f"(x)互为倒数（即原函数，前提要f"(x)存在且不为0）
反函数求导法则
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=siny，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数.
解：函数x=sinyx=siny在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0
因此，由公式得
(arcsinx)′=1(siny)′
(arcsinx)′=1(siny)′
=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√
=1cosy=11−sin2y=11−x2
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