直线的两点式方程 2014高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-2-2 直线的两点式方程

一、选择题 1．过和两点的直线方程是 1 1 2 2 － 1 － 1 y y x x A. ＝ 2 － 1 2 － 1 y y x x － 1 － 2 y y x x B. ＝ 2 － 1 1 － 2 y y x x C ． － ＝0 2 1 1 2 1 1 D ． － ＝0 2 1 1 2 1 1 [答案] C x y 2 ．直线 ＋ ＝1 在y 轴上的截距是 a2 b2 A ．|b| B．－b2 C ．b2 D ．±b [答案] C x y 3 ．直线 ＋ ＝1 过一、二、三象限，则 a b A ．a 0 ，b 0 B ．a 0 ，b 0 C ．a 0 ，b 0 D ．a 0 ，b 0 [答案] C 4 ．下列说法正确的是 － 1 A.y y ＝k 是过点且斜率为 k 的直线 1 1 － 1 x x x y B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是 a 、b 的直线方程为 ＋ ＝1 a b C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离是 b D ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜 [答案] D 5 ．已知△ABC 三顶点A ，B，C，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为 A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0 C ．2x ＋y －12＝0 D ．2x －y －12＝0 [答案] A [解析] 点 M 的坐标为 ，点N 的坐标为 ，由两点式方程 y －2 x －3 得 ＝ ，即 2x ＋y －8 ＝0. 4 －2 2 －3 6 ．过两点和的直线在x 轴上的截距为 3 2 A ．－ B ．－ 2 3 C. D ．2 [答案] A y －9 x －3 [解析] 直线方程为 ＝ ， － － － 1 9 1 3 x y 3 化为截距式为 ＋ ＝ 1 ，则在x 轴上的截距为－ . 3 3 2 7 ．已知2x －3y ＝4,2x －3y ＝4 ，则过点A ，B 的 1 1 2 2 1 1 2 2 直线 l 的方程是 A ．2x －3y ＝4 B ．2x －3y ＝0 C ．3x －2y ＝4 D ．3x －2y ＝0 [答案] A [解析] ∵满足方程 2x －3y ＝4 ，则在直线 2x －3y 1 1 1 1 1 1 ＝4 上．同理也在直线 2x －3y ＝4 上．由两点决定一条直线， 2 2 故过点 A ，B的直线 l 的方程是 2x －3y ＝4. 1 1 2 2 [点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否 8．过P且在坐标轴上截距相等的直线有 A ．1 条 B ．2 条 C ．3 条 D ．4 条 [答案] B [解析] 解法一：设直线方程为 y ＋3 ＝k ． 3 4k 令 y ＝0 得 x ＝ ，令x ＝0 得 y ＝－4k －3. 3 4k 3 由题意， ＝－4k －3 ，解得k ＝－ 或k ＝－1. k 4 因而所求直线有两条，∴应选 B. 解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设 x y 直线在坐标轴上截距为 ， ，a ≠0 ，则直线方程为 ＋ ＝1 ， a a 把点 P的坐标代入方程得 a ＝1. ∴所求直线有两条，∴应选 B. 二、填空题 x y 9 ．直线 － ＝1 在两坐标轴上的截距之和为________ ． 4 5 [答案] －1 x y [解析] 直线 － ＝ 1 在 x 轴上截距为 4 ，在y 轴上截距为－5 ， 4 5 因此在两坐标轴上截距之和为－1. 10．过点和 的直线的两点式方程是________ ． － － － ＋ y 1 x 0 y 4 x 2 [答案] ＝ － － － － ＋ 4 1 2 0 1 4 0 2 11．过点 ，且在两坐标轴上截距之和等于 5 的直线方程是 ________ ． [答案] 3x ＋2y －6 ＝0 x y [解析] 设直线方程为 ＋ ＝1 ，则Error! a b x y 解得 a ＝2 ，b ＝3 ，则直线方程为 ＋ ＝1 ， 2 3 即 3x ＋2y －6 ＝0. 12 ．直线 l 过点 P，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若 P 为线段AB 的中点，则直线 l 的方程为________ ． [答案] 2x －y ＋4 ＝0 [解析] 设 A ，B ． 由 P为 AB 的中点， ∴Error! ∴Error! 由截距式得 l 的方程为 x y ＋ ＝1 ，即2x －y ＋4 ＝0. －2 4 三、解答题 13．求过点 P ，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大 1 的直线方程． x y [解析] 设直线方程的截距式为 ＋ ＝1. a ＋1 a 6 －2 则 ＋ ＝ 1 ，解得a ＝2 或 a ＝1 ， a ＋1 a x y x y 则直线方程是 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1 ， 2 ＋1 2 1＋1 1 即 2x ＋3y －6 ＝0 或 x ＋2y －2 ＝0. 14 ．已知三角形的顶点是A 、B 、C，求经过 每两边中点的三条直线的方程． [解析] 设 AB 、BC 、CA 的中点分别为 D 、E、F ，根据中点坐标 3 1 公式得 D、E、F ．由两点式得DE 的直线方程为 2 2 2 x －6 ＝ .整理得 2x －14y ＋9 ＝0 ，这就是直线DE 的方程． － － 1 3 1 6 y － 2 x － －1 ? ? 由两点式得 ＝ ， 1 1－ －1 ? ? 4 － 整理得 7x －4y ＋9 ＝0 ，这就是直线EF 的方程． y － 2 x －6 由两点式得 ＝ 3 1－6 4 － 整理得 x ＋2y －9 ＝0 这就是直线 DF 的方程． 15 ．△ABC 的三个顶点分别为A ，B ，C． 分别求边AC 和AB 所在直线的方程； 求AC 边上的中线 BD 所在直线的方程； 求AC 边的中垂线所在直线的方程； 求AC 边上的高所在直线的方程； 求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程． [解析] 由 A ，C可得直线 AC 的截距式方程为 ＋ ＝1 ，即x －2y ＋8 ＝0. － － y 4 x 0 由 A ，B可得直线 AB 的两点式方程为 ＝ ， － － － 6 4 2 0 即 x ＋y －4 ＝0. 设 AC 边的中点为 D ，由中点坐标公式可得x ＝－4 ，y ＝ － ＋ y 6 x 2 2 ，所以直线BD 的两点式方程为 ＝ ，即 2x －y ＋10 ＝0. － － ＋ 2 6 4 2 4 －0 1 由直线 AC 的斜率为 kAC ＝ ＝ ，故AC 边的中垂线的斜率 0 ＋8 2 为 k ＝－2.又 AC 的中点 D ， 所以 AC 边的中垂线方程为 y －2 ＝－2 ， 即 2x ＋y ＋6 ＝0. AC 边上的高线的斜率为－2 ，且过点B ，所以其点斜式 方程为 y －6 ＝－2 ，即2x ＋y －2 ＝0. AB 的中点 M ，AC 的中点 D ， y －2 － － x ? 4? ∴直线 DM 方程为 ＝ ， 5 －2 － － － 1 ? 4? 即 x －y ＋6 ＝0. 16 ．求分别满足下列条件的直线 l 的方程： 斜率是 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 6； 经过两点A ，B； 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的 [解析]设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋b. 令 y ＝0 ，得x ＝－ b ， 1 4 ∴ |b ·| ＝6 ，b ＝±3. 2 3 ∴直线 l 的方程为 y ＝ x±3 当 m ≠1 时，直线 l 的方程是 y －0 x －1 1 ＝ ，即y ＝ 1－0 m －1 m －1 当 m ＝1 时，直线 l 的方程是 x ＝1. 设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b. x y 当 a ≠0 ，b≠0 时，l 的方程为 ＋ ＝1 ； a b 4 3 ∵直线过 P ，∴ － ＝1. a b 又∵|a| ＝|b| ， ∴Error!解得Error!或Error! 当 a ＝b ＝0 时，直线过原点且过 ， ∴l 的方程为 y ＝－ x . x y 3 综上所述，直线 l 的方程为 x ＋y ＝1 或 ＋ ＝ 1 或 y ＝ x . 7 －7 4 [点评] 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如 中m 的分 类，再如 中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情

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